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[主观题]

设ε1,ε2,...,εn是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。

设ε1,ε2,...,εn是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。

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更多“设ε1,ε2,...,εn是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。”相关的问题

第1题

设α1,α2,...,αn是n维线性空间V的一组基,A是一nxs矩阵。证明:的维数等于A的秩。

设α1,α2,...,αn是n维线性空间V的一组基,A是一nxs矩阵。

证明:的维数等于A的秩。

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第2题

设V为数域P上的n维线性空间,且V=L(α1,α2,...αn),(1)证明{α1,α12,..

设V为数域P上的n维线性空间,且V=L(α1,α2,...αn),

(1)证明{α1,α12,...,α12+...+αn}是V的一组基:

(2)若a∈V在基{α1,α2,...αn}下的坐标为(n,n-1,...,2,1),求α在基{α1,α12,...,α12+...+αn}下的坐标

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第3题

设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证

设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证明:

1)V中包含ε1-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含εn;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

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第4题

设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2

设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而

证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,···,αm线性无关。

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第5题

设V是数域P上n(>0)维线性空间,则对任何m≥n,在V中存在向量α1,α2,...,αm使得其中任意n个均为V的基.

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第6题

设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f

设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f(α,β),β∈V。

试证:1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε1,...,εn,有V的唯一的一组基ε1',...,εn'使f(εi,εj')=δij;

3)如果V是复数域上n维线性空间,则有一组基η1,...,ηn,使ηii',i=1,...,n。

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第7题

设V是一个n维欧氏空间,它的内积为(α,β),对V中确定的向量α,定义V上一个函数α*:α*(β)=(α,β)。1)证明:α*是V上线性函数;2)证明:V到V*的映射:α→α*是V到V*的一个同构映射。(在这个同构下,欧氏空间可看成自身的对偶空间。)

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第8题

是n维线性空间V上的线性变换,证明:1)若在V的某基下矩阵A是某多项式d(λ)的友矩阵,则的最小多项

是n维线性空间V上的线性变换,证明:

1)若在V的某基下矩阵A是某多项式d(λ)的友矩阵,则的最小多项式是d(λ);

2)设的最高次的不变因子是d(λ),则的最小多项式是d(λ)。

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第9题

设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,试证α1,α≇

设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,

试证α1,α2,α3是V的一组基并求它的对偶基(用f1,f2,f3表出)。

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第10题

设α1,α2,...,αs是线性空间V中非零向量,证明:有f∈V*使

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第11题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使2)

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:

1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使

2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;

3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使

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