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[主观题]

（I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为：（II)在（I)中哪

(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为：

(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并验算T^-1AT。

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发布时间：2022-07-15

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第1题

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证明：

1)V中包含ε₁的-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含ε_n;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

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第2题

设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ

设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：这里W_i=W∩V，i=1，2，...，k。

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第3题

设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵是求出σ的若尔当分解。

设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵是

求出σ的若尔当分解。

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第4题

设f（α，β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中一个元素α，定义V*中一个元素α*：α*（β)=f

设f(α，β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中一个元素α，定义V*中一个元素α*：α*(β)=f(α，β)，β∈V。

试证：1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε₁，...，ε_n，有V的唯一的一组基ε₁'，...，ε_n'使f(ε_i，ε_j')=δ_ij;

3)如果V是复数域上n维线性空间，则有一组基η₁，...，η_n，使η_i=η_i'，i=1，...，n。

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第5题

令V是复数C上的一个n维向量空间，σ，τ是V的线性变换，且στ=τσ。（i)证明σ的每一本征子空间都在τ之下不变;（ii)σ与τ在V中有一公共本征向量。

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第6题

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

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第7题

设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而φ是V的一个线性变换，并且φ与S中每一线性变换可交换。证明如果S不可约，那么φ一定是一个位似[Schur引理]。

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第8题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在P[x]中有一次数≤n²的多项式f（x)，使2)

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：

1)在P[x]中有一次数≤n²的多项式f(x)，使

2)如果，那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;

3)可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式f(x)使

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第9题

令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件σ²=σ。证明：（i)Ker（σ)=（ξ-σ（ξ)|ξ∈V};（ii)V=Ker（σ)⊕Im（σ);（iii)如果τ是V的一个线性变换，那么Ker（σ)和Im（σ)都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ。

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第10题

设V是复数域上线性空间，其维数n≥2，f（α，β)是V上一个对称双线性函数。1)证明：V中有非零向量ξ使f（ξ，ξ)=0;2)如果f（α，β)是非退化的。则必有线性无关的向量ξ，η满足f（ξ，η)=1，f（ξ，ξ)=f（η，η)=0。

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