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[主观题]

(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量,已知在一组基下的矩阵为:(II)在(I)中哪

(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量,已知在一组基下的矩阵为:

(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形?在可以化成对角形的情况,写出相应的基变换的过渡矩阵T,并验算T-1AT。

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更多“(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量,已知在一组基下的矩阵为:(II)在(I)中哪”相关的问题

第1题

设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证

设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证明:

1)V中包含ε1-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含εn;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

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第2题

设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ

设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明:这里Wi=W∩V,i=1,2,...,k。

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第3题

设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换,它关于V的一个基的矩阵是求出σ的若尔当分解。

设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换,它关于V的一个基的矩阵是

求出σ的若尔当分解。

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第4题

设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f

设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f(α,β),β∈V。

试证:1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε1,...,εn,有V的唯一的一组基ε1',...,εn'使f(εi,εj')=δij;

3)如果V是复数域上n维线性空间,则有一组基η1,...,ηn,使ηii',i=1,...,n。

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第5题

令V是复数C上的一个n维向量空间,σ,τ是V的线性变换,且στ=τσ。(i)证明σ的每一本征子空间都在τ之下不变;(ii)σ与τ在V中有一公共本征向量。

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第6题

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。

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第7题

设V是复数域上一个n维向量空间,S是V的某些线性变换所成的集合,而φ是V的一个线性变换,并且φ与S中每一线性变换可交换。证明如果S不可约,那么φ一定是一个位似[Schur引理]。

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第8题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使2)

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:

1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使

2)如果,那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;

3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使

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第9题

令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换,并且满足条件σ2=σ。证明:(i)Ker(σ)=(ξ-σ(ξ)|ξ∈V};(ii)V=Ker(σ)⊕Im(σ);(iii)如果τ是V的一个线性变换,那么Ker(σ)和Im(σ)都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ。

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第10题

设V是复数域上线性空间,其维数n≥2,f(α,β)是V上一个对称双线性函数。1)证明:V中有非零向量ξ使f(ξ,ξ)=0;2)如果f(α,β)是非退化的。则必有线性无关的向量ξ,η满足f(ξ,η)=1,f(ξ,ξ)=f(η,η)=0。

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